Vetores: o que são e como representá-los

Introdução

Vetores, o que são, o que comem, onde vivem, para que servem. Hoje no Globo Repórter.

Deixando a brincadeira de lado, vetores são uma entidade matemática muito interessante e útil, que, muitas vezes, não é totalmente compreendida e utilizada de forma correta. Eles são utilizados em praticamente todas as áreas da física e matemática e portanto de todas as áreas que precisam dessas disciplinas básicas, como a geofísica e engenharias.

O objetivo dessa coluna de hoje é fazer você entender o que são os vetores e as maneiras de representá-los. Não irei falar aqui das operações com os vetores e suas aplicações, mas saiba que não importa a forma como você escreva o seu vetor, as operações com eles continuam valendo e dando o mesmo resultado.

Já deparei com sete maneiras distintas de representar um vetor e sei que podem ter outras mais, por incrível que pareça. Essas sete formas podem ser representadas por meio de letras, setas, par ordenado, vetor posicional, matriz, vetores unitários e notação de Dirac. 

É bastante provável que determinado livro use uma, duas ou, no máximo, três formas de representar um vetor. O que você tem que fazer é entender a maneira em que ele está utilizando e, quando ler outro livro, que utilize outra modo, você entenda a notação e consiga fazer as contas.

O que são vetores?

No ensino médio, pelo menos na experiência que tive, vetores são tratados como setas para representar uma grandeza física vetorial, como força, deslocamento, aceleração. O que não está errado, mas fica com a impressão de que vetores são setas e só isso. Para começar, eles não são setas, esta é só uma forma de representá-lo, uma forma geométrica de visualizá-los no espaço.

Aí você pode se perguntar, o que de fato são vetores? A forma mais simples de definir um vetor é a seguinte: é uma entidade matemática que possui um módulo (um valor numérico), unindo direção e sentido. Essa entidade são os objetos que fazem parte de um espaço vetorial. Então, se você pegar um objeto que apresente módulo, direção e sentido e que esteja dentro de um espaço vetorial, esse objeto vai ser um vetor.

Você ficou mais perdido que nem cego em tiroteio? Espero que não. Espaços vetoriais é um assunto visto em Álgebra Linear. Não vou entrar nos pormenores aqui, mas saiba apenas que vetores são os elementos de um espaço vetorial.

Notação por meio de letras

A primeira forma de representar um vetor é por meio de letras. A letra pode ser em minúscula ou em maiúscula, com uma seta em cima ou a letra em negrito.

Notação por meio de setas

A forma da seta, que já foi comentada, pode ser vista abaixo.

Nada mais são que setas representando o vetor. O tamanho da seta representa a sua magnitude, o segmento de reta, a sua direção e a seta, seu sentido.

Podemos também unir as duas notações e colocar a letra junto com a seta, como mostrado abaixo.

Notação por meio de par ordenado e o vetor posicional

Quando adicionamos um sistema de coordenadas no estudo, independente de ser retangular, esférico, cilíndrico e posicionamos o vetor sempre iniciando da origem do sistema de coordenadas, esses vetores serão representados pela sua coordenada final, já que a inicial sempre será (0,0). Alguns livros utilizam o par ordenado para representar o vetor, que, no final, não muda nada, mas não é a melhor forma de representar, porque o par ordenado, primeiramente, representa um ponto no sistema de coordenadas e não o vetor.

Para evitar essa possível confusão, utilizamos outra notação, a dos vetores posicionais, em que eles sempre começam na origem e sua representação é:

Esse é o caso para um vetor em R³, mas podemos utilizar na dimensão que a gente quiser.

Notação de matrizes

Se estivermos trabalhando com matrizes, uma boa forma de representar o vetor é por meio de matrizes, olha só: os vetores serão uma matriz linha ou uma matriz coluna, o que fizer mais sentido no momento:

Cada uma dos termos da matriz é um componente do vetor. O mesmo vala para as notações anteriores, de par ordenado e vetor posicional.

Vetores unitários

Existe um tipo especial de vetor que apenas tem a função de mostrar a direção de um vetor, já que seu módulo sempre será igual a 1. São chamados de vetores unitários ou versores. Todos os vetores podem ser representados pelo seu módulo multiplicado pelo seu versor:

Existem versores especiais, que apontam na direção dos eixos x, y e z. O nome deles são i, j e k, simples assim e bastante úteis. Então um vetor qualquer pode ser escrito assim:

Notação de Dirac

A última forma de representar vetores que eu conheço é com a notação de Dirac. Ela é uma notação para a Mecânica Quântica, então provavelmente é a mais improvável que se conheça ou que já se tenha utilizado. Ela é bastante útil para o contexto da quântica, mas em qualquer outro, não é muito útil.

Utilizamos os BRA e os KET para fazer todas as nossas operações, mas é apenas o KET, que é o vetor simples e é representado da seguinte forma: